2 méthodes principales d'ajustement de courbe (avec schéma)
Lisez cet article pour en savoir plus sur les méthodes d’ajustement de courbes graphiques et mathématiques de l’analyse de fréquence!
Procédure d'ajustement de courbe graphique:
Dans une procédure d'ajustement de courbe graphique simple, les inondations observées sont tracées sur un papier de probabilité et une courbe de meilleur ajustement dessinée par «œil» à travers les points. Le papier à probabilité log-normale et le papier à probabilité extrême sont couramment utilisés à cette fin.
Dans le cas de la forme précédente, la position de tracé de chaque crue de la série annuelle est déterminée par la formule suivante: P = ml (n + 1) où P est la probabilité de dépassement, m l’ordre de grandeur d’une crue donnée dans un tableau de valeurs. observés inondations et n le nombre d'années. Si un papier à probabilité extrême, appelé aussi papier Gumbel, est utilisé, les positions de tracé des inondations sont trouvées par la formule T = (n +1) lm, où T est la période de retour en années (figure 5.9).
Méthodes d'ajustement des courbes mathématiques:
Pour éviter les erreurs subjectives d’ajustement graphique, l’ajustement des courbes est effectué de manière mathématique. Trois méthodes sont disponibles à cet effet; la méthode des moments, la méthode des moindres carrés et la méthode du maximum de vraisemblance. La dernière méthode donne les meilleures estimations mais elle est généralement très compliquée pour une application pratique.
La méthode des moindres carrés donne un meilleur ajustement global que la méthode des moments et implique relativement moins de calculs et est donc généralement adoptée.
Vous trouverez ci-dessous un bref aperçu du principe des moindres carrés et une procédure permettant d’ajuster la distribution de Gumbel à l’aide de ce principe:
Dans la Fig. 5.10, pour une valeur donnée de x, disons x 1, il y aura une différence entre la valeur de y 1 et la valeur correspondante déterminée à partir de la courbe Y. Cette différence (indiquée par D dans la figure) ou l'écart peut être positif, négatif ou nul.
Une mesure de la qualité de l'ajustement de la courbe aux données fournies est fournie par la somme des carrés des départs. Si cela est petit, l'ajustement est bon et s'il est grand, c'est mauvais. La ligne des moindres carrés approximant l'ensemble des points (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ), … .. (x n, y n ) a l'équation y = A + Bx où les constantes A et B sont déterminées en résolvant simultanément les équations
∑y = An + B∑x
et ∑xy = A∑x + B∑x
Qui s'appellent les équations normales pour la ligne des moindres carrés. A partir de ces équations, les constantes A et B peuvent être trouvées comme
Les tableaux 5.9 et 5.10 montrent les calculs (en utilisant les données du problème 2) pour adapter la loi de Gumbel (telle qu'adoptée par Ven Te Chow) selon la méthode ci-dessus. La loi est exprimée comme
y = A + B log 10 log 10 T / T - 1
Où y est l'inondation avec une période de retour T.
La procédure étape par étape adoptée est donnée ci-dessous:
(i) Classez les inondations observées (y) de la série annuelle par ordre décroissant.
(ii) Calculez les valeurs T pour chacune des valeurs y en utilisant la relation
T = n + 1 / m
(iii) Calculez les valeurs x où x = log 10 log 10 T / T - 1 pour toutes les heures.
(iv) Calculez le produit xy et x 2 pour tous les éléments.
(v) Trouvez les sommations ∑x, y, x 2 et xy et substituez ces valeurs dans les équations normales pour obtenir les paramètres A et B de la ligne des moindres carrés.
(vi) Tracez l'équation ajustée de la ligne sur un papier de probabilité des valeurs extrêmes après avoir calculé quelques valeurs de y pour des valeurs T sélectionnées. C'est la ligne de fréquence requise.
(vii) Pour juger de la qualité de l'ajustement, les données observées sont également tracées sur le même document. La figure 5.9 montre la droite de meilleur ajustement et le tracé observé sur un papier de probabilité de valeur extrême.
