Mesure de la variabilité: un aperçu

Mesure de la variabilité: un aperçu!

Signification de la variabilité:

Variabilité signifie «Scatter» ou «Spread». Ainsi, les mesures de la variabilité font référence à la dispersion ou à la dispersion des scores autour de leur tendance centrale. Les mesures de variabilité indiquent la dispersion de la distribution au-dessus et en dessous de l'appel d'offres central.

Dans l'exemple suivant, nous pouvons avoir une idée claire du concept de mesures de la variabilité:

Supposons qu'il y ait deux groupes. Dans un groupe, il y a 50 garçons et dans un autre groupe, 50 filles. Un test est administré à ces deux groupes. Le score moyen des garçons est de 54, 4 et celui des filles, nous comparons le score moyen des deux groupes. Nous constatons qu'il n'y a pas de différence de performance entre les deux groupes. Mais supposons que les scores des garçons vont de 20 à 80 et ceux des filles de 40 à 60.

Cette différence de gamme montre que les garçons sont plus variables car ils couvrent plus de territoire que les filles. Si le groupe contient des individus de capacités très différentes, les scores seront dispersés de haut en bas, la fourchette sera relativement large et la variabilité augmentera.

Cette situation peut être illustrée graphiquement dans les figures ci-dessous:

La figure ci-dessus montre deux distributions de fréquences de la certaine zone (N) et de la moyenne (50) mais avec une variabilité très différente. Le groupe A va de 20 à 80 et le groupe B de 40 à 60. Le groupe A est trois fois plus variable que les spreads du groupe B sur trois fois la distance sur l'échelle des scores, bien que les deux distributions aient une tendance centrale.

Définitions de la variabilité:

Dictionnaire de l'éducation - Bon CV. "La dispersion ou la variabilité des observations d'une distribution sur une mesure de la tendance centrale." Dictionnaire de statistiques de Collins: "La dispersion est la propagation d'une distribution"

AL Bowley:

"La dispersion est la mesure de la variation des éléments."

Brooks et Dicks:

"La dispersion ou l'étalement est le degré de dispersion ou de variation des variables autour d'une valeur centrale". Ainsi, la propriété qui indique l'étendue de la dispersion des valeurs autour des valeurs centrales est appelée dispersion. Cela indique également le manque d'uniformité dans la taille des éléments d'une distribution.

Besoin de variabilité:

1. Aide à assurer les mesures de déviation:

Les mesures de la variabilité nous aident à mesurer le degré de déviation, qui existe dans les données. Cela permet de déterminer les limites dans lesquelles les données seront naviguées dans une certaine variété ou qualité mesurable.

2. Il est utile de comparer différents groupes:

À l'aide de mesures de validité, nous pouvons comparer les données originales exprimées dans différentes unités.

3. Il est utile de compléter les informations fournies par les mesures de tendance centrale.

4. Il est utile de calculer d'autres statistiques préalables sur la base des mesures de dispersion.

Mesures de variabilité:

Il y a quatre mesures de variabilité:

1. La gamme

2. La déviation de quartile

3. La déviation moyenne

4. La déviation standard

Ceux-ci sont:

1. La gamme:

La plage est la différence entre dans une série. C'est la mesure la plus générale de propagation ou de dispersion. C'est une mesure de la variabilité des variétés ou des observations entre elles et ne donne aucune idée de la répartition des observations autour d'une valeur centrale.

Plage = H — L

Ici H = meilleur score

L = score le plus bas

Exemple:

Dans une classe, 20 étudiants ont obtenu les notes suivantes:

22, 48, 43, 60, 55, 25, 15, 45, 35, 68, 50, 70, 35, 40, 42, 48, 53, 44, 55, 52

Ici, le score le plus élevé est 70

Le score le plus bas est 15

Plage = H - L = 70 –15 = 55

Si la plage est supérieure à celle du groupe, cela indique plus d'hétérogénéité et si la plage est inférieure à celle du groupe, plus d'homogénéité. Ainsi, range nous fournit une indication instantanée et approximative de la variabilité d’une distribution.

Mérites de la gamme:

1. La plage est facile à calculer et à comprendre.

2. C'est la mesure la plus simple de la variabilité.

3. Il fournit une estimation rapide de la mesure de la variabilité.

Démérites de gamme:

1. La plage est grandement affectée par la fluctuation des scores.

2. Il n'est pas basé sur toutes les observations de la série. Il ne prend en compte que les scores les plus élevés et les plus bas.

3. Dans le cas de distributions ouvertes, la plage ne peut pas être utilisée.

4. Il est fortement affecté par les fluctuations de l'échantillonnage.

5. Il est grandement affecté par les scores extrêmes.

6. La série n'est pas vraiment représentée par gamme. Une distribution symétrique et une distribution symétrique peuvent avoir la même plage mais pas la même dispersion.

Utilisations de la gamme:

1. L’étendue est utilisée comme mesure de la dispersion lorsque les variations de la valeur de la variable ne sont pas très importantes.

2. La plage est la meilleure mesure de la variabilité lorsque les données sont trop dispersées ou trop rares.

3. La gamme est utilisée lorsque la connaissance du score extrême ou de la dispersion totale est souhaitée.

4. Lorsqu'une estimation rapide de la variabilité est souhaitée, une plage est utilisée.

2. La déviation de quartile (Q):

À côté de l'écart de quartile, l'intervalle est une autre mesure de la variabilité. Il est basé sur l'intervalle contenant la moitié moyenne des cas dans une distribution donnée. Un quart signifie un quart de quelque chose quand une échelle est divisée en quatre parties égales. "L'écart de quartile ou Q est la moitié de la distance d'échelle entre les 75e et 25e centiles d'une distribution de fréquence."

La figure 9.2 montre que le premier quartile ou Q 1 se situe dans une distribution inférieure à 25% et supérieure à 75%. Le 2e quartile ou Q2 est une position en dessous et au dessus de laquelle 50% des cas se situent. C'est la médiane de la distribution.

Le troisième quartile ou Qg est le 75e centile, en dessous duquel se situent 75% des cas et au-dessus de 25%. Ainsi, l'écart de quartile (Q) est égal à la moitié des distances d'échelle entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1). Il est également connu sous le nom de rage semi-interquartile.

Symboliquement:

Par conséquent, afin de calculer l’écart par quartile, nous devons d’abord calculer le premier quartile (Q 1 ) et le troisième quartile (Q 3 ).

Où = L = limite inférieure de la classe du premier quartile,

La classe du premier quartile est cette classe, dont la fréquence cumulée est supérieure à la valeur de N / 4 lorsque if est calculé à partir de l'extrémité inférieure.

N / 4 = un quart du nombre total de cas.

F = Fréquence cumulée de l’intervalle de classe inférieur à la

1er quartile.

Fq 1 = fréquence de la classe Q 1

i = taille de l'intervalle de classe 3N

Où: L = limite inférieure de la classe du troisième quartile

La classe du troisième quartile est celle dont la fréquence cumulée (C f ) est supérieure à la valeur de 3N / 4, c'est-à-dire Cf> 3N / 4, lorsque Cf est calculé à partir de l'extrémité inférieure.

3N / 4 = ¾ th de N ou 75% du nombre total de cas.

F = Fréquence cumulée de la classe inférieure à la classe.

fq 2 = fréquence de la classe Q 3 .

i = taille de l'intervalle de classe.

Calcul du quartile à partir de données de groupe:

Exemple:

Découvrez l'écart de quartile des données suivantes:

Étapes à suivre pour calculer l'écart quartile:

Étape 1:

Calculer N / 4 soit 25% de la distribution et 3N / 4 soit 75% de la distribution.

Ici –N = 50 donc N / 4 = 12, 5

et 3N / 4 = 37, 5

Étape 2:

Calcule le C f à partir de l'extrémité inférieure. Comme dans le tableau 9.1, colonne 3.

Étape 3:

Découvrez les classes Q 1 et Q 3 .

Dans cet exemple:

Ci, 60—64 est la classe Q1 parce que C f > N / 4

Ci 75—79 est la classe Q 3 parce que

la Cf> 3N / 4

Étape 4:

Découvrez F pour Q 1 classe et Q 3 classe. Dans cet exemple

F pour Q 1 classe = 10

F pour Q3 class = 30 Step

Étape 5:

Découvrez Q1 en mettant les valeurs ci-dessus dans la formule.

Q 1 = L + N / 4 - F / fq1 xi

Ici, L = 59, 5 car les limites exactes de la classe Q 1 60-64 sont 59, 5-64, 5.

F = 10 le Cf en dessous de la classe Q 1

Fq 1 = 4: la fréquence exacte de la classe Q 1

i = 5, taille de l'intervalle de classe

N / 4 = 12, 5

Maintenant, Q 1 = 59, 5+ 12, 5-10 / 4 x 5

= 59, 5 + 2, 5 / 4 x 5

= 59, 5 + 0, 63 x 5

= 59, 5 + 3, 13 = 62, 63

Étape 6:

Découvrez le Q 3 en mettant les valeurs dans la formule.

Ici, L = 74, 5 car les limites exactes de la classe Q 3 75—79 sont de 74, 5—79, 5.

F = 30 Cf en dessous de la classe Q 3 .

3N / 4 = 37, 5

Fq 1 = 8 la fréquence exacte de la classe Q 3 .

i = 5 taille des intervalles de classe.

Q 3 = 74, 5 + 37, 5-30 / 8 x 5

= 74, 5 + 7, 5 / 8 x 5 = 74, 5 + 0, 94 x 5

= 74, 5 + 4, 7 = 79, 2

Étape 7:

Trouve Q en mettant la valeur ci-dessus dans la formule.

Q = Q 3 -Q 1/2 = 79, 2 - 62, 63 / 2

= 16, 5 / 2 = 8, 285 = 8, 29

Mérites de l'écart quartile:

1. L’écart par quartile est simple à calculer et à comprendre.

2. Il est plus représentatif et plus digne de confiance que de gamme. En cas d'intervalle de classe ouvert, il est utilisé pour étudier les mesures de dispersion.

3. En cas d'intervalle de classe ouvert, il est utilisé pour étudier les mesures de dispersion.

4. C'est un bon indice de densité de score au milieu de la distribution.

5. Lorsque nous prenons la médiane comme mesure de la tendance centrale à ce moment-là, Q est préféré comme mesure de la dispersion.

6. Comme gamme, il n'est pas affecté par les scores extrêmes.

Démérites de déviation de quartile:

1. Il n'est pas basé sur toutes les observations de données. Il ignore les premiers 25% et les derniers 25% des scores.

2. Un traitement algébrique supplémentaire n’est pas possible en cas de Q. C’est seulement une moyenne de position. Il n’étudie pas la variation des valeurs d’une variable à partir d’une moyenne quelconque. Cela indique simplement une distance sur une échelle.

3. Il est affecté par la fluctuation des scores. Dans tous les cas, sa valeur est affectée par un changement de la valeur d'un score unique.

4. Q n'est pas une mesure appropriée de la dispersion, lorsque, dans une série, les valeurs de divers scores varient considérablement.

Utilisations de la déviation quartile:

1. Lorsque la médiane est la mesure de la tendance centrale à ce moment, on utilise Q pour mesurer la dispersion.

2. Lorsque les scores extrêmes affectent le DD ou que les scores sont dispersés à ce moment-là, Q est utilisé comme mesure de la variabilité.

3. Lorsque notre principal intérêt est de connaître la concentration autour de la médiane - 50% des cas, Q est utilisé à ce moment-là.

4. Lorsque les intervalles de classe sont ouverts, Q est utilisé comme mesure de dispersion.

3. L'écart moyen (AD):

Nous avons discuté de deux variabilités, l’écart de gamme et le quartile. Mais aucune de ces dispersions n'indique la composition de la distribution. C'est parce que les deux dispersions ne prennent pas en compte tous les scores individuels. Nous pouvons remédier à certaines des graves lacunes de l’écart de plage et de quartile en utilisant une autre dispersion appelée écart moyen ou écart moyen.

"L'écart moyen est la moyenne arithmétique de tous les écarts de scores différents par rapport à la valeur moyenne des scores, sans égard au signe de l'écart."

Ainsi, l’écart moyen correspond à la moyenne arithmétique des écarts d’une série à partir d’une mesure de la tendance centrale. L’écart moyen est donc la moyenne des écarts pris par rapport à leur moyenne (parfois à partir de la médiane et du mode.)

Définitions:

Dictionnaire de statistiques Collins:

"L'écart moyen est la moyenne des valeurs absolues des différences entre les valeurs d'une variable et la moyenne de sa distribution."

Dictionnaire de l'éducation, bon CV:

"Une mesure exprimant le montant moyen par lequel les différents éléments d'une distribution s'écartent d'une mesure de tendance centrale telle que la moyenne de la médiane."

SE Garrett:

"L'écart moyen ou AD est la moyenne des écarts de tous les scores séparés d'une série tirée de leur moyenne (parfois de la médiane ou du mode)."

On peut donc dire que l’écart moyen ou écart moyen, comme on l’appelle, est la moyenne des écarts de tous les scores.

Aucun signe n'est pris en compte et tous les écarts, qu'ils soient positifs ou négatifs, sont considérés comme positifs.

où AD = écart moyen

£ = Capital Sigma, Moyenne Somme totale de

II = Modulable en bref Mod, signifie aucun respect pour le signe négatif.

x = écart, (X — M)

Calcul de la déviation moyenne:

Il existe deux situations pour calculer l’écart moyen:

(a) Lorsque les données sont dissociées.

(b) Lorsque les données sont regroupées.

Calcul d'AD à partir de données non groupées.

Exemple:

Trouvez AD des 10 scores suivants donnés ci-dessous:

23, 34, 16, 27, 28, 39, 45, 26, 18, 27

Solution:

Étape 1:

Découvrez la moyenne des scores avec la formule

∑X / N

Étape 2:

Découvrez l'écart de tous les scores en déduisant la moyenne des scores.

Étape 3:

Découvrez l'écart absolu comme indiqué dans le tableau 9.2 et ensuite | x |

Étape 4:

Mettez les valeurs dans la formule.

Le AD = 7.58.

Calcul de l'AD à partir de données groupées:

Exemple:

Découvrez l'ANNONCE des données suivantes:

Solution :

Étape 1:

Découvrez la moyenne de la distribution.

Moyenne = 70, 80

Étape 2:

Découvrez le point médian pour chaque intervalle de classe. Comme dans la colonne —3 du tableau —9.3

Étape 3:

Trouve le x en déduisant la moyenne du point milieu (X). Comme indiqué dans la colonne —5 du tableau — 9.3.

Étape 4:

Découvrez l'écart absolu ou | x |. Comme colonne —6 ci-dessus.

Étape 5:

Découvrez f x |. en multipliant f avec | x. Comme indiqué dans la colonne —7 et découvrez | f x |.

Étape 6:

Mettez les valeurs ci-dessus dans la formule.

La formule pour AD à partir de données groupées

Où = AD = écart moyen

Σ = Somme totale de

f = fréquence

x = écart c'est-à-dire (X — M)

N = Total Nombre de cas, à savoir ∑ f .

Mettre les valeurs en formule

Mérites de AD:

1. L’écart moyen est défini de manière rigide et sa valeur est précise et définie.

2. Il est facile à calculer.

3. C'est facile à comprendre. Parce que c'est la moyenne des déviations par rapport à une mesure de tendance centrale.

4. Il est basé sur toutes les observations.

5. Il est moins affecté par la valeur des scores extrêmes.

Démérites de AD:

1. L’inconvénient majeur de l’écart moyen est qu’il ignore les signes algébriques des écarts qui vont à l’encontre des règles fondamentales des mathématiques.

2. Un traitement algébrique supplémentaire n'est pas possible en cas de MA.

3. Il est très rarement utilisé. En raison de l'écart type, on utilise généralement comme mesure de la dispersion.

4. Lorsqu'il est calculé à partir du mode AD, il ne donne pas une mesure précise de la dispersion.

Utilisations de la déviation moyenne:

1. L’écart moyen est utilisé lorsque l’on souhaite pondérer tous les écarts à la moyenne en fonction de leur taille.

2. Lorsque les scores extrêmes influencent l'écart type à ce moment-là, AD est la meilleure mesure de dispersion.

3. AD est utilisé lorsque nous voulons savoir dans quelle mesure les mesures sont réparties de part et d'autre de la moyenne.

4. La déviation standard (SD):

Nous avons discuté de trois mesures de la variabilité, à savoir l'écart, l'écart par quartile et l'écart moyen. Nous avons également constaté que tous souffraient de graves inconvénients.

La plage qui vient d'être prise en compte ne prend en compte que le score le plus élevé et le score le plus bas L'écart de quartile ne prend en compte que les 50% moyens des scores et en cas d'écart moyen, nous ignorons les signes.

Par conséquent, pour surmonter toutes ces difficultés, nous utilisons une autre mesure de dispersion appelée écart type. Il est couramment utilisé en recherche expérimentale car il s'agit de l'indice de variabilité le plus stable. Symboliquement, il est écrit comme σ (lettre minuscule grecque sigma).

Définitions:

Dictionnaire de statistiques de Collin.

«L’écart type est une mesure de la dispersion ou de la dispersion. C'est la déviation quadratique moyenne.

Dictionnaire de l'éducation - Bon CV.

"Une mesure de variabilité largement utilisée, consistant en la racine carrée de la moyenne des écarts carrés des scores par rapport à la moyenne de la distribution."

L'écart type est la racine carrée de la valeur moyenne des écarts carrés des scores par rapport à leur moyenne arithmétique.

Le SD est calculé en faisant la somme de l'écart au carré de chaque mesure par rapport à la moyenne, divisée par le nombre de cas et en extrayant la racine carrée. Pour être plus clair, il convient de noter ici que dans le calcul de l'écart type, nous quadrillons tous les écarts séparément, trouvons leur somme, divisons la somme par le nombre total de scores, puis trouvons la racine carrée de la moyenne de l'écart au carré. De sorte que cela s'appelle également la «déviation moyenne quadratique».

Le carré de l'écart type s'appelle la variance (σ 2 ). On parle d'écart carré moyen. On l'appelle aussi comme dispersion du deuxième moment.

Calcul de l'écart type à partir de données non groupées:

Exemple:

Découvrez le SD des données suivantes:

6, 8, 10, 12, 5, 8, 9, 17, 20, 11.

Solution:

Étape 1:

Découvrez la moyenne des scores.

Étape 2:

Découvrez l'écart (x) de chaque score.

Calcul de la SD à partir de données groupées:

Dans les données groupées, la SD peut être calculée de deux manières:

1. Méthode directe ou méthode longue

2. Méthode courte ou méthode supposée

1. Méthode directe ou méthode longue:

Exemple:

Découvrez le SD de la distribution suivante:

Solution:

Étape 1:

Découvrez le point médian de chaque intervalle de classe. (Colum-3, tableau 9.4)

Étape 2:

Découvrez la moyenne de la distribution:

Ici M = ∑ f x / N = 3540/50

= 70, 80

Étape 3:

Trouve l'écart (x) en déduisant la moyenne des points.

Étape 4:

Trouvez le f x en multipliant le f (col-2) avec x (col-5)

Étape 5:

Trouvez le f x en multipliant f x (col-2) avec x (col-5)

Étape 6:

Calculez ∑ f x en ajoutant les valeurs de la colonne 7.

Étape 7:

Mettez les valeurs dans la formule.

2. Méthode courte ou moyenne supposée:

En bref, le calcul de l'écart type est facile et prend moins de temps. Si les points médians des intervalles de classe sont des nombres décimaux, il devient alors plus compliqué de calculer SD en méthode longue. Cette méthode consiste essentiellement à «deviner» ou à supposer une moyenne et à appliquer ensuite une correction pour obtenir la moyenne réelle. Donc, on l'appelle comme méthode supposée moyenne.

Exemple:

Calculez le SD, de la distribution suivante:

Solution:

Étape 1:

Supposons que le point médian de tout intervalle de classe est «Moyenne supposée». Mais il est préférable d’assumer que le milieu de l’intervalle de classe au milieu a la fréquence la plus élevée comme moyenne supposée. Ici, supposons = 72 comme moyenne supposée.

Étape 2:

Déterminez x (écart des scores par rapport à la moyenne supposée), comme indiqué dans la colonne 3.

x '= X - M / i

Étape 3:

Calculez f x 'en multipliant x' par f (col-4).

Étape 4:

Calculez f x 2 en multipliant x '(col-3) par f x (col-5).

Étape 5:

Trouvez ∑ f x 'et ∑ f x ' 2 it 'en ajoutant les valeurs dans les colonnes 4 et 5, respectivement. '

Étape 6:

Mettez les valeurs dans la formule:

La formule pour SD en abrégé est la suivante:

Où i = Taille de l'intervalle de classe

∑ = Somme totale de

f = fréquence

x '= écart des scores par rapport à leur moyenne supposée.

Maintenant, si nous substituons ∑ f x '/ N à la place de C.

La formule sera la suivante:

Nous mettons maintenant les valeurs dans la formule.

1.Si une valeur constante est ajoutée à chaque score ou soustraite de chaque score, la valeur de SD reste inchangée:

Cela signifie que SD est indépendant du changement d'origine (addition, soustraction). Ainsi, si une valeur constante est ajoutée ou soustraite à chaque variété, la SD reste la même.

Nous pouvons examiner cela à partir de l'exemple suivant:

Dans le tableau ci-dessus, les scores de 5 étudiants sont donnés. Voyons ce qui arrive au SD des scores si nous ajoutons un nombre constant, disons 5 et soustrayons 5 à chaque score.

2. Si une valeur constante est multipliée ou divisée par les scores d'origine, la valeur de SD est également multipliée ou divisée par le même nombre:

Cela signifie que le DS est indépendant du changement d'échelle (multiplication, division). Si nous multiplions les scores originaux par un nombre constant, le DS est également multiplié par le même nombre.

Encore une fois, si nous divisons chaque score par un nombre constant, le DS est également divisé par le même nombre.

Nous pouvons illustrer cela avec l'exemple suivant:

Dans le tableau ci-dessus, les scores de 5 étudiants sont donnés. Voyons ce qui arrive au SD des 5 scores si on le multiplie par un nombre constant disons 2 et qu'on le divise avec le même nombre constant.

Ainsi, nous avons découvert que si les scores sont multipliés par un nombre constant, le σ est également multiplié par ce chiffre. Si les scores sont divisés par un nombre constant, le σ est également divisé par le même nombre.

Mérites du SD:

1. L’écart type est défini de manière rigide et sa valeur est toujours définie.

2. Il est basé sur toutes les observations de données.

3. Il est capable de poursuivre le traitement algébrique et possède de nombreuses propriétés mathématiques.

4. Contrairement à Q et AD, il est moins affecté par les fluctuations des scores.

5. Contrairement à AD, il n’ignore pas les signes négatifs. En corrigeant les écarts, il surmonte ces difficultés.

6. C'est la mesure la plus fiable et la plus précise de la variabilité. Cela va toujours avec la moyenne qui est la mesure la plus stable de la tendance centrale.

7. SD donne une mesure qui est la signification comparable d'un test à l'autre. Avant tout, les unités de courbes normales sont exprimées dans une unité.

Démérites de SD:

1. Le développement durable est difficile à comprendre et difficile à calculer.

2. Le DD accorde plus de poids aux scores extrêmes et la perte à ceux qui sont plus proches de la moyenne. C'est parce que les carrés des déviations, qui sont de grande taille, seraient proportionnellement plus grands que les carrés de ces déviations qui sont comparativement petits.

Utilisations de la SD:

1. SD est utilisé lorsque notre objectif est de mesurer la variabilité ayant la plus grande stabilité.

2. Lorsque des déviations extrêmes peuvent affecter la variabilité à ce moment-là, SD est utilisé.

3. La SD est utilisée pour calculer d'autres statistiques telles que le coefficient de corrélation, les scores standard, les erreurs types, l'analyse de variance, l'analyse de co-variance, etc.

4. Lorsque l'interprétation des scores est faite en termes de NPC, le SD est utilisé.

5. Lorsque nous voulons déterminer la fiabilité et la validité des résultats des tests, nous utilisons le DD.

Écart-type combiné:

Au cours des travaux de recherche, nous tirons parfois plus d’un échantillon de la population. Par conséquent, nous obtenons différents DS pour chaque groupe ou échantillon. Mais nous avons parfois besoin d'interpréter ces résultats comme un groupe. Par conséquent, lorsque différents ensembles de scores ont été combinés en un seul lot, il est possible de calculer le SD de la distribution totale à partir des SD des sous-groupes.

La formule pour calculer l'écart type combiné ou est la suivante:

N 1, N 2, N n = Nombre de scores dans le groupe 1, le groupe 2, etc. jusqu'au nième groupe.

d = (moyenne- peigne ) 'd' est trouvé en déduisant M peigne de la moyenne du groupe concerné.

De même, d 1, d 2 … d n sont découverts.

σ = écart type du groupe concerné σ 1, σ 2, σ 3 signifie σ du groupe 1, groupe 2, groupe 3, etc.

Exemple:

Solution:

Maintenant, mettez les valeurs dans la formule.