Analyse de fréquence par la méthode Gumbel: principe et étapes

Lisez cet article pour en savoir plus sur les principes et les étapes de l’analyse de fréquence par la méthode Gumbel.

Principe de l'analyse de fréquence:

Le principe général de l'analyse de fréquence peut être énoncé comme suit:

En tant que méthode simple, les fréquences (ou probabilités), P (X ≥ x), des pics de crue observés pourraient être calculées. La courbe des probabilités en fonction des pics d'inondation (fVs. X) est ensuite tracée sur du papier log-probabilité et une courbe lisse est ajustée couvrant tous les points. En extrapolant la courbe, des valeurs extrêmes pourraient être obtenues.

Comme les données observées sont généralement courtes, elles peuvent ne pas représenter la population et nous ne pouvons donc pas continuer à nous fier entièrement à la courbe obtenue à partir des données observées.

Maintenant, considérant que les données enregistrées constituent un échantillon aléatoire de leur population mère, une distribution de fréquence théorique adaptée aux données pourrait être adaptée.

Une fois que la distribution est bien adaptée aux données observées, il est facile d’extrapoler pour calculer les probabilités requises.

La méthode d’analyse de fréquence de Gumbel est basée sur une distribution de valeurs extrêmes et utilise des facteurs de fréquence développés pour une distribution théorique. La méthode utilise l’équation générale donnée pour l’analyse hydrologique en fréquence qui est indiquée ci-dessous.

x = x + ∆x… (0)

Où x est l'ampleur de l'inondation d'une probabilité donnée (P) ou d'une période de retour (7)

x est la moyenne des inondations enregistrées

X est le départ de variable de la moyenne.

∆x dépend des caractéristiques de dispersion, de l'intervalle de récurrence (T) et d'autres paramètres statistiques. Il peut être exprimé comme

∆x = SK

où S est l'écart type de l'échantillon et K le facteur de fréquence. Ainsi, l'équation (i) ci-dessus peut être exprimée par

x = x + KS

Le tableau 5.6 donne les valeurs théoriquement dérivées du facteur de fréquence pour différentes tailles d'échantillon et périodes de retour.

Étapes impliquées dans l'analyse de fréquence:

Les différentes étapes de l’analyse de fréquence par la méthode Gumbel sont les suivantes:

(i) Énumérer et organiser les inondations annuelles (x) par ordre décroissant.

(ii) Attribuez le rang 'm', m = 1 pour la valeur la plus élevée, etc.

(iii) Calculez la période de retour (T) et / ou la probabilité de dépassement (P) à l'aide des équations n + 1 / m et m / n +1, respectivement. Ces valeurs, associées à la magnitude respective de l'inondation, donnent des positions de tracé.

(iv) À l’aide de la forme tabulaire, calculez x ², x et Ex ² .

(v) Calculez maintenant la moyenne x; quadratique moyenne x ² ; moyenne des carrés x ² et écart type S.

(vi) Dans le tableau 5.6, les facteurs de fréquence pour la méthode de Gumbel sont lus si les valeurs des périodes de retour souhaitées (7) et la taille de l'échantillon disponible.

(vii) En utilisant la relation x = x + KS, calculez les valeurs d'inondation pour différentes périodes de retour.

(viii) En utilisant le papier de probabilité de valeur extrême, tracez les valeurs x par rapport aux périodes de retour respectives ou aux valeurs P et reliez les points pour obtenir la courbe de fréquence requise.

Problème:

La série annuelle d'inondations pour une rivière est disponible pour 21 ans. Les pics de crue observés sont indiqués ci-dessous. Calculez la crue centennale en utilisant la méthode de Gumbel et tracez la courbe de fréquence théorique obtenue en utilisant un facteur de fréquence et comparez-la avec la courbe de fréquence des données observées.

Solution:

En suivant les étapes mentionnées ci-dessus, les données d'inondation peuvent être classées par ordre décroissant dans le tableau 5.7. Le rang peut être attribué comme indiqué dans la colonne 3 et T, P (X> x) et xP calculés dans les colonnes suivantes.

Maintenant, en utilisant l'équation x = x + KS et en adoptant les valeurs de x et S d'en haut, et les différentes valeurs de K et T du tableau 5.6, les flux de crue (c.-à-d. Les valeurs x) de différentes périodes de retour peuvent être calculés comme indiqué dans le tableau 5.8.

D'après le tableau 5.8, 23 397 inondations, soit 23 400 cumec, ont été déclarées. En utilisant un papier de probabilité de valeur extrême (Fig. 5.9), les flux d'inondation (valeurs x) de la colonne 6 du tableau 5.8 sont tracés en fonction de la période de retour (T) de la colonne 1 du même tableau. Les points tracés sont joints pour obtenir une ligne droite montrée ferme dans la Fig. 5.9.

Pour comparer l'ajustement de cette ligne aux données observées, sur le même graphique (valeurs x), les flux d'inondation observés de la colonne 2 du tableau 5.7 sont tracés en fonction des valeurs de période de retour (T) de la colonne 4 du même tableau. On peut constater que, dans l'ensemble, les données observées correspondent à la courbe de fréquence de manière satisfaisante. Par conséquent, la distribution sélectionnée est satisfaisante.