Le théorème d'Euler et le problème de l'épuisement du produit

Le théorème d'Euler et le problème d'épuisement du produit!

Dès qu'il a été proposé que les facteurs de production soient payés à égalité avec leurs produits marginaux, un problème difficile a surgi au sujet duquel un débat sérieux a eu lieu parmi les économistes célèbres. Le problème difficile qui a été posé est que si tous les facteurs étaient payés des récompenses égales à leurs produits marginaux, le produit total serait-il exactement épuisé?

En d'autres termes, si chaque facteur est récompensé à égalité avec son produit marginal, le produit total devrait être éliminé sans surplus ni déficit. Le problème consistant à prouver que la production totale sera simplement épuisée si tous les facteurs reçoivent des récompenses égales à leurs produits marginaux a été appelé "problème de cumul" ou problème d'épuisement des produits.

Les deux solutions au problème de l'épuisement des produits ont été avancées. Premièrement, une solution importante a été proposée par PH Wicksteed, qui supposait des rendements d'échelle constants dans la production (c'est-à-dire la fonction de production homogène au premier degré) et avait appliqué la théorie d'Euler pour prouver le problème de l'épuisement du produit.

La deuxième solution importante a été fournie par JR Hicks et RA. Samuleson qui a utilisé un modèle de concurrence parfaite pour la détermination des prix des produits et des facteurs afin de prouver le problème d'épuisement des produits. Nous discutons ci-dessous ces solutions de problème d'épuisement du produit.

La solution de Wicksteed au problème de l'épuisement du produit avec le théorème d'Euler:

Philip Wicksteed a été l'un des premiers économistes à poser ce problème et à lui apporter une solution. Wicksteed a appliqué une proposition mathématique appelée Théorème d'Euler pour prouver que le produit total sera simplement épuisé si tous les facteurs sont payés à égalité avec leurs produits marginaux.

Soit Q la production totale du produit, a le facteur travail et b le facteur capital et c la terre. En supposant qu'il n'y ait que trois facteurs utilisés pour la production. Ensuite, le problème d'addition implique que,

Q = MP _a xa + MP _a X b + MP _c xc

En d’autres termes, le produit marginal du facteur a multiplié par la quantité de facteur a plus le produit marginal de facteur b multiplié par la quantité de facteur b plus le produit marginal de facteur c multiplié par la quantité de facteur c est égal au produit total de la raffermir. Les produits marginaux de divers facteurs peuvent être exprimés en tant que dérivés partiels. Ainsi, le produit marginal du travail (facteur a) peut être exprimé en W / a, et le produit marginal du capital (facteur b) en W / ∂b, et le produit marginal de la terre (facteur c) en ∂W / c, pour que le problème d'addition (problème d'épuisement du produit) soit résolu, il faut tenir compte de l'équation suivante:

Or, le théorème d'Euler indique que si la fonction de production est une fonction homogène du premier degré, c'est-à-dire que si dans Q = f (a, b, c) toute augmentation des variables a, b et c du montant n, la sortie Q augmente également de n, alors Q sera égal à la somme totale des dérivées partielles de la fonction de production par rapport à divers facteurs multipliés par les montants des facteurs, respectivement.

La fonction homogène de la fonction homogène du premier degré ou linéaire est écrite sous la forme suivante:

nQ = f (na, nb, nc)

Maintenant, selon le théorème d'Euler, pour cette fonction homogène linéaire:

Ainsi, si la fonction de production est homogène au premier degré, alors, selon le théorème d'Euler, le produit total est:

Où Q représente le produit total et ∂W / a, ∂W / ∂b, W / ∂c sont des dérivées partielles de la fonction de production et représentent donc les produits marginaux du travail, du capital et de la terre, respectivement. Il s'ensuit donc que si la fonction de production est homogène du premier degré (c'est-à-dire où les rendements d'échelle sont constants), alors, selon le théorème d'Euler, si les différents facteurs a, b et c reçoivent des récompenses égales à leurs produits marginaux, le produit total sera juste épuisé, sans surplus ni déficit.

Nous voyons donc que le théorème d'Euler est capable d'expliquer l'épuisement du produit lorsque la fonction de production est homogène au premier degré. Ainsi, Wicksteed, en supposant des rendements d'échelle constants et en appliquant le théorème d'Euler, a prouvé le problème de l'addition, c'est-à-dire que, si tous les facteurs sont payés à égalité avec leurs produits marginaux, le produit total sera exactement épuisé.

Une critique du théorème d'Euler et de la solution de Wicksteed:

La solution de Wicksteed a été critiquée par Walras, Barone, Edgeworth et Pareto. Ces auteurs ont affirmé que la fonction de production n’était pas homogène au premier degré, c’est-à-dire; les rendements d'échelle ne sont pas constants dans le monde actuel. Ainsi, Edgeworth a commenté de manière satirique la solution de Wicksteed: «Il y a une magnificence dans cette généralisation qui rappelle la jeunesse de la philosophie. La justice est un cube parfait, dit l'ancien sage; et la conduite rationnelle est une fonction homogène, ajoute le savant moderne ».

Les critiques ont souligné que la fonction de production est telle qu'elle génère une courbe de coût moyen à long terme en forme de U. La forme en U de la courbe des coûts moyens à long terme implique que des rendements d'échelle croissants se produisent et que, par la suite, des rendements d'échelle décroissants sont obtenus.

Si une entreprise travaille toujours avec des rendements d'échelle croissants, si tous les facteurs sont payés à égalité avec leurs produits marginaux, les avantages des facteurs totaux dépasseraient le produit total. D'autre part, si une entreprise travaille avec des rendements d'échelle décroissants et si tous les facteurs sont payés à égalité avec leurs produits marginaux, la rémunération totale des facteurs n'épuisera pas totalement le produit total et laissera donc un excédent. Il s'ensuit que le théorème d'Euler ne s'applique pas et que, par conséquent, le problème de l'addition ne tient pas, qu'il s'agisse de rendements d'échelle croissants ou de rendements d'échelle décroissants.

La solution proposée par Wicksteed présente un autre inconvénient: lorsque les rendements sont constants, la courbe de coût moyen à long terme de l'entreprise est une ligne droite horizontale incompatible avec une concurrence parfaite. (Sous la courbe des coûts moyens horizontaux à long terme, l'entreprise ne peut pas avoir une position d'équilibre déterminée). Mais une concurrence parfaite était essentielle à la théorie de la productivité marginale et donc à la solution de Wicksteed. La solution de Wicksteed nous conduit donc à deux choses contradictoires.

Le problème d'épuisement de la solution de Wicksell, Walras et Barone:

Après Wicksteed, Wicksell, Walras et Barone, chacun indépendamment, a avancé une solution plus satisfaisante au problème selon lequel les récompenses en facteurs déterminées marginalement épuiseraient tout le produit. Ces auteurs ont supposé que la fonction de production typique n'était pas homogène au premier degré, mais était telle qu'elle produisait une courbe de coût moyen à long terme en forme de U.

Ils ont souligné qu'à long terme, sous concurrence parfaite, l'entreprise était en équilibre au minimum de la courbe de coût moyen à long terme. Au point minimal de la courbe des coûts moyens à long terme, les rendements de l’écart sont momentanément constants, c’est-à-dire que les rendements d’échelle sont constants dans la plage des faibles variations de la production.

Ainsi, la condition requise pour que les avantages déterminés de manière marginale épuisent le produit total, à savoir le fonctionnement à rendements d'échelle constants, a été remplie au point minimal de la courbe de coût moyen à long terme, où une entreprise parfaitement compétitive est à long terme équilibre. Ainsi, dans le cas d'un équilibre parfaitement à long terme, le théorème d'Euler peut être appliqué et si les facteurs sont rémunérés à des prix égaux à leurs produits marginaux, le produit total serait exactement épuisé.

La solution de Hicks-Samuelson au problème de l'épuisement du produit :

Après Wicksell, Walras et Barone, JR Hicks et PA Samuelson ont fourni une solution plus satisfaisante au problème de l'épuisement des produits. Le point fondamental à noter dans leur solution est que ce sont les conditions de marché d'une concurrence parfaite, caractérisées par le fait que le bénéfice économique est nul à long terme et non la fonction de production du premier degré homogène, qui garantissent que, si les facteurs sont payés, une rémunération égale à la leur. produits marginaux, le produit de valeur totale serait tout simplement épuisé.

Dans un marché parfaitement concurrentiel, les entreprises ne réalisent ni profit économique ni pertes. Ainsi, la solution du problème de l'épuisement des produits dans le cas d'entreprises travaillant sur des marchés de facteurs concurrentiels où les facteurs payés sont égaux à leurs produits marginaux, l'existence d'une concurrence parfaite sur les marchés de produits garantira des bénéfices économiques nuls à long terme. Examinons le graphique 32.15 où une entreprise parfaitement compétitive est en équilibre à long terme au minimum de la courbe de coût moyen à long terme.

La valeur totale produite par l'entreprise dans cet équilibre à long terme est égale à la surface OPEQ. Étant donné que le prix OP est égal au coût moyen (CA) à cette production d'équilibre à long terme avec des profits purs nuls, le produit en valeur totale (PQ) sera égal au coût total (CT). Ainsi

En équilibre concurrentiel à long terme:

Valeur totale du produit (PQ) = l.l + ​​kr… (1)

Maintenant, la théorie de la productivité marginale de la distribution exige que

w = VMP _L = P.MPP _L … (2)

r = VMP _K = P. MPP _K … (3)

Où w et r sont respectivement les prix du travail et du capital et les MPP _L et MPP _K sont des produits physiques marginaux du travail et du capital, respectivement, et P est le prix du produit.

En substituant les valeurs de w et r dans l'équation (1), nous avons

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

En divisant les deux côtés par P, nous avons

Q = L.MPP _L + K. MPP _K

Autrement dit, si le travail et le capital sont payés à égalité avec leurs produits physiques marginaux, la production totale sera tout simplement épuisée.

Il est important de noter que, contrairement aux solutions de Wicksteed et de Wicksell, Walras et Barone, la solution fournie par Hicks et Samuelson prouve le théorème d'épuisement du produit sans supposer de rendements d'échelle constants (fonction de production homogène au premier degré) et sans utiliser le théorème d'Euler. Ils le prouvent en supposant simplement que la structure du marché est parfaite.

La solution Hicks-Samuleson a le mérite d’être soulignée lorsque les conditions d’un marché concurrentiel parfait ne sont pas réunies, c’est-à-dire en cas de concurrence monopolistique ou imparfaite sur le marché du produit, de concurrence monopsone ou imparfaite sur le marché des facteurs, n'obtiennent pas de récompenses égales à la valeur de leurs produits marginaux et sont donc exploités par les entrepreneurs qui peuvent réaliser d'importants bénéfices économiques.